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动态规划(Dynamic Programming)

背包问题

01背包问题

动态规划

• 状态表示 f[i][j]
  • 集合：所有考虑前i个物品，且体积不大于j的全部选法
  • 属性：Max
• 状态计算：集合的划分

有 N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 $v_i$，价值是$w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N，V≤1000
0<vi,wi≤10000< $v_i,w_i$≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

二维

• 状态f[i][j]定义：前 i个物品，背包容量 j下的最优解（最大价值）

• 当背包容量够，需要决策选与不选第 i 个物品：

  • 不选f[i][j] = f[i-1][j]
  • 选f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+w[i]
  • 我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取max()

  代码

  #include <iostream>
  #include <algorithm>
  using namespace std;
  const int N = 1010;
  int v[N], w[N];
  int f[N][N];
  int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) {f[i][j] = f[i - 1][j];if (v[i] <= j)  f[i][j] = max(f[i][j], f[i -1][j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
  }
  

一维

我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = m; j >= v[i]; --j) {f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[m];return 0;
}

完全背包问题

动态规划

• 状态表示 f[i][j]
  • 集合：所有考虑前i个物品，且体积不大于j的全部选法
  • 属性：Max
• 状态计算：集合的划分

f[i][j]第i个物品选了k个,先去掉k个物品i，再加回来k个物品i

f[i][j] = f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k

暴力dp

#include <iostream>using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N],v[N], w[N];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) {for (int k = 0; k * v[i] <= j; ++k) {f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);// cout << f[i][j];}}}cout << f[n][m];return 0;
}

我们可以发现

f[i,j]=Max(f[i-1,j],f[i-1,j-v]+w,f[i-1.j-2v]+2w,...,f[i-1.j-kv]+kw

f[i,j-v]=Max( f[i-1,j-v],f[i-1.j-2v]+w,...,f[i-1.j-kv]+(k-1)w

代码

#include <iostream>
// #include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N],v[N], w[N];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= m; ++j) {f[i][j] = f[i-1][j];if (j >= v[i])  f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);           }}cout << f[n][m];return 0;
}

一维代码

#include <iostream>
// #include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N],v[N], w[N];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = v[i]; j <= m; ++j) {// f[i][j] = f[i-1][j];f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);           }}cout << f[m];return 0;
}

多重背包问题

动态规划

• 状态表示 f[i][j]
  • 集合：所有考虑前i个物品，且体积不大于j的全部选法
  • 属性：Max
• 状态计算：集合的划分

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i$, $w_i$, $s_i$ ，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<$v_i$, $w_i$, $s_i$ ≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N][N], w[N], v[N], s[N];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= m; ++j) {for (int k = 0; k * v[i] <= j && k <= s[i]; ++k) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
}

当数据范围扩大

数据范围

0<N≤1000

0<V≤2000

0<$v_i$, $w_i$, $s_i$ ≤2000

f(i, j) = Max(f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w,f(i-1,j-2v)+2w+...+f(i-1,j-sv)+sw)
f(i, j-v) = Max(f(i-1,j-v),f(i-1,j-2v)+w,f(i-1,j-3v)+2w+...+f(i-1,j-sv)+(s-1)w,f(i, j) = Max(f(i-1,j),f(i-1,j-v)+w,f(i-1,j-2v)+2w+...+f(i-1,j-(s+1)v)+sw)

所以不能用完全背包问题解决

我们可以采用二进制优化+01背包问题的方法

二进制优化

给出一堆苹果和10个箱子，选出n个苹果。将这一堆苹果分别按照1,2,4,8,16,…512分到10个箱子里，那么由于任何一个数字x∈[0,1023] (第11个箱子才能取到1024，评论区有讨论这个)都可以从这10个箱子里的苹果数量表示出来，但是这样选择的次数就是 ≤10次

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int v[N], w[N];
int f[2020];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;int cnt = 0;while (n--) {int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s) {v[++cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s){v[++cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}n = cnt;for (int i = 1; i <=n; ++i) {for (int j = m; j >= v[i]; --j) {f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[m];return 0;
}

分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是$v_{i,j}$，价值是$w_{i,j}$，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 i 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数$v_{i,j}$,$w_{i,j}$，用空格隔开，分别表示第 i个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<Si≤100
0<$v_{i,j}$,$w_{i,j}$j≤100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int v[N], w[N];
int f[110];
int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int s;cin >> s;for (int j = 1; j <= s; ++j) {cin >> v[j] >> w[j];}for (int k = m; k >= 1; --k) {for (int j = 1; j <= s; ++j) {if (v[j] <= k)f[k] = max(f[k], f[k - v[j]] + w[j]);}} }cout << f[m];return 0;
}