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二分查找

题目描述

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

1. 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
2. n 将在 [1, 10000]之间。
3. nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

核心算法

朴素二分查找算法

• x < t -> left = mid + 1 [left, right]
• x > t -> right = mid - 1 [left, right]
• x == t 返回结果

细节问题

1. 循环结束的条件

   left > right

2. 为什么是正确的？

   二分查找算法之所以是正确的，是因为它利用了有序数组的性质，并通过不断缩小搜索范围的方式来快速定位目标元素。它的基本思想是将待搜索的数组分为两部分，然后通过比较目标值与中间元素的大小关系，确定目标值可能存在的区间，然后在该区间内继续二分查找，直到找到目标值或确定目标值不存在。

   在每一次迭代中，二分查找算法将搜索区间缩小一半，因此它具有高效的搜索速度。由于每次都是将搜索区间减半，所以它的时间复杂度是O(log n)，其中n是数组的长度。相比于线性搜索算法的时间复杂度O(n)，二分查找算法在大规模数据集上具有更快的速度。

3. 为什么时间快？

   首先，二分查找算法每次将搜索区间缩小一半。假设待搜索的数组长度为n，在每次迭代中，查找区间的长度都会减半，因此经过k次迭代后，查找区间的长度将变为n/2^k。当查找区间的长度缩小到1时，就可以确定目标值的位置。所以，通过不断将搜索区间减半，二分查找算法能够在较少的比较操作中找到目标值，从而具有较快的时间复杂度。

   其次，二分查找算法是基于有序数组进行查找。由于有序数组具有元素按照大小顺序排列的特点，可以利用这个特点进行二分查找。每次比较目标值与中间元素的大小关系，可以确定目标值在左半部分或右半部分，从而缩小搜索范围。这种有序性质使得二分查找算法能够更快地定位目标值，避免了无效的搜索。

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {// 初始化左、右双指针int left = 0, right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] == target) return mid;else if(nums[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid - 1;}return -1;}
};

朴素二分模板

while(left <= right){// 防止漏出int mid = left + (right - left) / 2;if(....) right = mid - 1;else if(....) left = mid + 1;else return ......;}