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通过IP地址来查找IP归属地的功能，不知道你有没有用过？没用过也没关系，你现在可以打开百度，在搜索框里随便输一个IP地址，就会看到它的归属地。

这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的IP地址库来实现的。地址库中包括IP地址范围和归属地的对应关系。

当我们想要查询202.102.133.13这个IP地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个IP地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]这个地址范围内，那我们就可以将这个IP地址范围对应的归属地“山东东营市”显示给用户了。

[202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
[202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江苏宿迁 
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州 
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江苏连云港

现在我的问题是，在庞大的地址库中逐一比对IP地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有12万条这样的IP区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个IP地址的归属地呢？

是不是觉得比较难？不要紧，等学完今天的内容，你就会发现这个问题其实很简单。

上一节我讲了二分查找的原理，并且介绍了最简单的一种二分查找的代码实现。今天我们来讲几种二分查找的变形问题。

不知道你有没有听过这样一个说法：“十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有Bug的二分查找并不容易。

唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第3卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于1946年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到1962年才出现。”

你可能会说，我们上一节学的二分查找的代码实现并不难写啊。那是因为上一节讲的只是二分查找中最简单的一种情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没那么好写了。

二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其他的你可以借助我今天讲的思路自己来分析。

需要特别说明一点，为了简化讲解，今天的内容，我都以数据是从小到大排列为前提，如果你要处理的数据是从大到小排列的，解决思路也是一样的。同时，我希望你最好先自己动手试着写一下这4个变形问题，然后再看我的讲述，这样你就会对我说的“二分查找比较难写”有更加深的体会了。

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

上一节中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。

如果我们用上一节课讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7，a[7]正好等于8，所以代码就返回了。

尽管a[7]也等于8，但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。我们上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一节的代码。

100个人写二分查找就会有100种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int bsearch(int[] a,