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一.拉格朗日定理
1.罗尔定理(RRolle’s Theorem):

定理6.1:若函数f满足如下条件:
①在[a,b]上连续
②在(a,b)上可导
③f(a)=f(b)
则在(a,b)上至少有1点$\xi$,使得$f^{\prime }(\xi )=0$

几何意义:在每点都可导的1段连续曲线上,如果曲线的2高端点高度相等,则曲线至少有1条水平切线(见图6-1)
定理中的3个条件缺少任何1个,结论都可能不成立(见图6-2)

2.拉格朗日中值定理(Lagrange Mean Value Theorem):

若函数f满足如下条件:
①在[a,b]上连续
②在(a,b)上可导
则在(a,b)上至少∃1点$\xi$,使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$(2)
说明:当$f(a)=f(b),本定理就退化为罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日定理的1个特殊情况$

几何意义:在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少∃1点P($\xi ,f(\xi )$),该曲线在该点的切线平行于曲线2个端点的连线AB,证明中引入的辅助函数F(x)表示的正是y=f(x)与AB的差

式(2)被称为拉格朗日公式,该式有几种等价的表示形式:
$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )\cdot (b-a),a<\xi <b(3)$
$f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1(4)$
$f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1(5)$
式(2)对a>b或a<b都成立,$\xi$是介于a和b之间的某数,式(4)(5)的特点在于把$\xi$表示成了$a+\theta h$

3.拉格朗日中值定理的几个推论:

推论1:若函数f在区间I上可导,且$f^{\prime }(x)\equiv 0(x\in I)$,则f为I上的1个常量函数

推论2:若函数f和g均在区间I上可导,且$f^{\prime }(x)\equiv g^{\prime }(x)(x\in I)$,则在I上$f(x)与g(x)$至多只相差某一常数,即$f(x)=g(x)+c(c为某一常数)$

推论3(导数极限定理):设函数f在某$U(x_0)$上连续,在$U°(x_0)$上可导,且$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$存在,则f在$x_0$处可导,且$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)(6)$

导数极限定理适合用于求分段函数的导数

二.函数的单调性
1.递增/减的充要条件:

定理6.3:若$f(x)$在区间I上可导,则$f(x)$在I上递增(减)的充要条件是:$f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)$

2.严格递增/减的充要条件:

定理6.4:若函数f在(a,b)上可导,则f在(a,b)上严格递增(减)的充要条件是: ①对$\forall x\in (a,b)$,有$f^{\prime }(x)\ge 0(\le 0)$ ②在(a,b)的∀子区间上$f^{\prime }(x)\not\equiv 0$
注:若f在(a,b)上严格递增(减),且在a右连续,则f在[a,b)上也严格递增(减);对b也有类似结论

推论1:设f在区间I上可微,若f’(x)>0(<0),则f在I上严格递增(减)
推论2(严格单调的充分条件):设f(x)在区间I上满足$f^{\prime }(x)\ne 0$,则f(x)在I上严格单调

3.达布定理(Darboux‘s’ Theorem):

• 该定理又称导函数的介值定理

定理6.5:若函数f在[a,b]上可导,且$f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$,k为介于$f_{+}^{\prime }(a)和f_{-}^{\prime }(b)$间的∀实数,则至少∃1点$\xi \in (a,b)$,使得$f^{\prime }(\xi )=k$

例8参见 导数与微分.一.3.(3) 部分

三.柯西中值定理与不定式极限
1.柯西中值定理:

定理6.6:设函数f和g满足:
①在[a,b]上连续
②在(a.b)上可导
③f’(x)与g’(x)不同时为0
④g(a)≠g(b)
则∃$\xi \in (a,b)$,使$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

2.不定式极限

我们把2个无穷小(大)量之比的极限统称为不定式极限,分别记为$\frac{0}{0}型和\frac{\infty }{\infty }型$的不定式极限,这种极限可能存在也可能不存在
我们使用导数来研究不定式极限,这种方法被称为洛必达法则(L’Hospital’s Rule),柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据
概括地说,洛必达法则是在一定条件下通过对分子和分母分别求导,然后再通过分别求导后比值的极限来确定未定式值的方法

(1)$\frac{0}{0}$型不定式极限:

定理6.7:若函数f和g满足:
①$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$
②在某$U°(x_0)$上f和g均可导,且$g^{\prime }(x)\ne 0$
③$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A(A可为实数,也可为\pm \infty 或\infty )$
则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$


注意: 1.将定理6.7中的$x\to x_0$换成$x\to x_0^{\pm /\pm \infty /\infty }$,只要相应地修改②中的邻域,也可得到相同的结论
\qquad 2.如果$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$仍是$\frac{0}{0}$型的不定式极限,且仍满足3个条件,则可继续使用定理6.7

(2)$\frac{⚫}{\infty }$型不定式极限:

定理6.8:若函数f和g满足:
①在某$U{°}_{+}(x_0)$上f和g均可导,且$g^{\prime }(x)\ne 0$
②$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }g(x)=\infty$
③$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A(A可为实数,也可为\pm \infty 或\infty )$
则$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A$

(3)其他类型的不定式极限:

不定式极限还有$0\cdot \infty ,1^{\infty },0^0,{\infty }^0,\infty -\infty$等类型,经过简单变换,这些类型一般均可变为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty }{\infty }$型不定式极限

(4)数列的不定式极限:

可利用函数极限的归结原则,通过先求相应形式的函数极限而得到结果
=而不能直接在数列形式下应用洛必达法则,因为对离散变量$n\in N_{+}$,求导数没有意义

四.泰勒公式
1.泰勒多项式(Taylor Series):

对一般函数f,如果其在x₀处存在直到n阶的导数,由这些导数构造1个n次多项式:$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n[\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k](2)$$,该多项式被称为在x₀的泰勒多项式,各项的系数$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$称为泰勒系数
易知f(x)与其泰勒多项式T_n(x)在x₀处有相同的函数值和相同的直到n阶的导数,即:$$f^{(k)}(x_0)=T_n^{(k)}(x_0)(k=1,2...n)(3)$$
下面证明$f(x)-T_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$,即用泰勒多项式逼近$f(x)$时,其误差为(x-x₀)ⁿ的高阶无穷小量

2.带有皮亚诺余项的泰勒公式(Taylor’s Formula with Peano Type Remainder)
(1)一般情况:

定理6.9:若函数f(x)在x₀处∃直至n阶的导数,则有$f(x)=T_n(x)+o((x-x_0{)}^n)$,即$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n[\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k]+o((x-x_0{)}^n)(4)$$该式称为函数$f$在x₀的带有皮亚诺余项的泰勒公式,形如o((x-x_0)^n)的余项称为皮亚诺型余项

注1:若$f(x)$在x₀附近满足$$f(x)=p_n(x)+o((x-x_0{)}^n)(p_n(x)为(1)式所示的n阶多项式)(5)$$这不意味着$p_n(x)$一定是$f$的泰勒多项式,如:$$f(x)=x^{n+1}D(x)(n\in N_{+},D(x)为狄利克雷函数)$$f(x)在x=0处除了f’(0)=0外没有其他任何阶导数,因此无法构建高于1次的$T_n(x)$,但因:$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^n}=\underset{x\to 0}{\lim }xD(x)=0,即f(x)=o(x^n)$$故若取$P_n(x)=0+0\cdot x+...+0\cdot x^n\equiv 0$,则(5)式对$\forall n\in N_{+}$恒成立

注2:满足(5)式的n次逼近多项式$P_n(x)是唯一的$
综合定理6.9和注2,满足定理6.9的条件时,满足(5)式的逼近多项式$p_n(x)$只可能是$f$的泰勒多项式$T_n(x)$

(2)在$x_0=0$处的情况:

在$x_0=0$处的特殊形式为:$$f(x)=\sum _{k=0}^n[\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{x}^k]+o(x^n)(6)$$该式称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式(Maclaurin’s Formula ~)

(3)常用的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式:

①$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$
②$sinx=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2(n+1)})$

③$cosx=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})$
④$ln(1+x)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n)$

⑤$(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{k=1}^n[\frac{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha -i)}{k!}{x}^k]+o(x^n)$
⑥$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^n{x}^k+o(x^n)$

3.带有拉格朗日余项的泰勒公式(~ with Lagrange Type Remainder)
(1)一般情况:

泰勒定理(定理6.10):若函数$f$在[a,b]上∃直至n阶的连续导函数,在(a,b)上∃(n+1)阶的导函数,则对∀给定的x,x₀∈[a,b],至少∃1点$\xi \in (a,b)$,使:$$f(x)=\sum _{k=0}^n[\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k]+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}(7)$$(7)式称为带有拉格朗日余项的泰勒公式,余项$$R_n(x)=f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},$$$$其中\xi =x_0+\theta (x-x_0)(0<\theta <1)$$称为拉格朗日型余项

注意:当n=0,(7)式记为拉格朗日中值公式$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(\xi )(x-x_0)$$故泰勒定理可看作拉格朗日中值定理的推广

(2)在$x_0=0$处的情况:

在$x_0=0$处的特殊形式为:$$f(x)=\sum _{k=0}^n[\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{x}^k]+o(x^n)+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1)(8)$$该式称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式(Maclaurin’s Formula with Lagrange Type Remainder)

(3)常用的带有拉格朗日余项的麦克劳林公式:

①$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}{x}^{n+1}(0<\theta <1,x\in R)$
②$sinx=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+(-1{)}^{n+1}\frac{cos\theta x}{(2n+3)!}{x}^{2n+3}(0<\theta <1,x\in R)$
③$cosx=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+(-1{)}^{n+1}\frac{cos\theta x}{(2n+2)}{x}^{2n+2}(0<\theta <1,x\in R)$
④$ln(1+x)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{x^k}{k}+(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x{)}^{n+1}}(0<\theta <1,x>-1)$
⑤$(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{k=1}^n[\frac{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha -i)}{k!}{x}^k]+\frac{\prod _{i=0}^n(\alpha -i)}{(n+1)!}(1+\theta x{)}^{\alpha -n-1}{x}^{n+1}(0<\theta <1,x>-1)$
⑥$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^n{x}^k+\frac{x^{n+1}}{(1-\theta x{)}^{n+2}}(0<\theta <1,|x|<1)$

4.泰勒公式可应用于近似计算:



五.对函数图像的研究

①求函数的定义域
②考察函数的奇偶性/周期性
③找到函数的某些特殊点,如与坐标轴的交点/不连续点/不可导点/极值点
④确定函数的单调区间/极值点/凸性区间/拐点
⑤考察渐近线
⑥绘制图像

1.极值判别
(1)极值的第一充分条件:

定理6.11:设$f$在x₀处连续,在某U°(x₀;δ)上可导,则 ①若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时$f^{\prime }(x)\le 0$,$x\in (x_0,x_0+\delta )时f^{\prime }(x)\ge 0$,则$f$在x₀取得极小值 ②若$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时$f^{\prime }(x)\ge 0$,$x\in (x_0,x_0+\delta )时f^{\prime }(x)\le 0$,则$f$在x₀取得极大值

(2)极值的第二充分条件:

定理6.12:设$f$在某U(x₀;δ)上一阶可导,在x=x₀处二阶可导,且f’(x₀)=0,f’’(x₀)≠0,则 ①若f’’(x₀)<0,则f在x₀取得极大值 ②若f’’(x₀)>0,则f在x₀取得极小值

(2)极值的第三充分条件:

定理6.13:设$f$在某U(x₀;δ)上∃直到n-1阶的导函数,在x₀处n阶可导,且$f^{(k)}(x_0)=0(k=1,2...n-1),f^{(n)}\ne 0$,则 ①当n为偶数,f在x₀处取得极值,且当$f^{(n)}(x_0)<0$时取极大值,$f^{(n)}(x_0)>0$时取极小值 ②当n为奇数,f在x₀处不取极值
该定理的证明类似于定理6.12

2.函数的最大/小值:

3.函数的凸性
(1)凸性:

延森不等式(Jensen Inequality):定义1的一般形式
若$f$为[a,b]上的凸函数,则对$\forall x_i\in [a,b],{\lambda }_i>0(i=1,2...n),\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$,有$$f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$

(2)引理:

f为区间I上的凸函数的充要条件是:对于I上的∀3点$x_1<x_2<x_3$,总有$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

(3)定理6.14:

设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价:
①f为I上的凸函数
②f’为I上的增函数
③对I上∀2点$x_1,x_2$,有$$f(x_2)\ge f(x_1)+f^{\prime }(x_1)(x_2-x_1)(5)$$


论断③的几何意义是:曲线y=f(x)总在它的∀切线的上方,这是可导凸函数的几何特征
对凹函数,也有类似的结论

(4)定理6.15:

设f为区间I上的二阶可导函数,则在I上f为凸(凹)函数的充要条件是:$$f^{\prime \prime }(x)\ge 0(\le 0),x\in I$$

4.函数的拐点
(1)拐点的定义:

(2)拐点的必要条件:

定理6.16:若f在x₀处二阶可导,则(x₀,f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是f’’(x₀)=0

(3)拐点的充分条件:

定理6.17:若ff在x₀处可导,在某U°(x₀)上二阶可导,若在$U{°}_{+}(x_0)和U{°}_{-}(x_0)$上f’’(x)的符号相反,则(x₀,f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点
注意:若(x₀,f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点,y=f(x)在x₀的导数不一定存在,如$y=x^{\frac{1}{3}}$在x=0处的情况

六.用牛顿切线法求方程的近似解