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SPCArt算法，利用旋转（正交变换更为恰当，因为没有体现出旋转这个过程），交替迭代求解sparse PCA。

对以往一些SPCA算法复杂度的总结

注：$r$是选取的主成分数目，$m$为迭代次数,$p$为样本维度，$n$为样本数目。本文算法，需要先进行SVD，并未在上表中给出。

Notation

论文概述

$A=U\Sigma V^{\mathrm{T}}$
$V_{1:r}=[V_1,V_2,\dots ,V_r]\in {\mathbb{R}}^{p\times r}$就是普通PCA的前$r$个载荷向量（loadings,按照特征值降序排列）
$\forall 旋转矩阵（正交矩阵）R\in {\mathbb{R}}^{r\times r}$
$V_{1:r}R$也是彼此正交的，张成同一子空间的向量组。

原始问题

如果能解出来，当然好，可是这是一个很难求解的问题，所以需要改进。

问题的变种

$V_{1:r}$直接用$V$表示了，为了符号的简洁。

变成这个问题之后，我们所追求的便是$X$了，$X_i$，就是我们要的载荷向量，显然，这个问题所传达出来的含义是：
1.我们希望$XR$与$V$相差不大，意味着$X_i$近似正交且张成同一个子空间。
2.$\Vert X_i{\Vert }_1$作为惩罚项，可以起到稀疏化的作用（这是1-范数的特点）。

算法

这是一个交替迭代算法，我们来分别讨论。

固定$X$,计算$R$

当固定$X$,之后，问题就退化为：

这个问题在Sparse Principal Component Analysis（Zou 06）这篇论文里面也有提到。

上述最小化问题，可以变换为
$maxtr(V^{\mathrm{T}}XR),s.t.R^{\mathrm{T}}R=I$
若$X^{\mathrm{T}}V=WD{Q}^{\mathrm{T}}$
就是要最大化：
$tr(QD{W}^{\mathrm{T}}R)=tr(D{W}^{\mathrm{T}}RQ)\le tr(D)$
当$R=W{Q}^{\mathrm{T}}$(注意$W^{\mathrm{T}}RQ$是正交矩阵)。

固定$R$，求解$X$ （$Z=V{R}^{\mathrm{T}}$）

1-范数

注意：$\Vert V{R}^{\mathrm{T}}-X{\Vert }_F^2=\Vert (V-XR)R^{\mathrm{T}}{\Vert }_F^2$，所以这个问题和原始问题是等价的。

经过转换，上述问题还等价于：
$ma{x}_{X_i}{Z}_i^{\mathrm{T}}{X}_i-\lambda \Vert X_i{\Vert }_{1}i=1,2,\dots ,r$

通过分析（蛮简单的，但是不好表述），可以得到：
$X_i^{\ast }=S_{\lambda }(Z_i)/\Vert S_{\lambda }(Z_i){\Vert }_2$

$T-{\ell }_0$（新的初始问题）

$R$的求解问题没有变化，考虑$R$固定的时候，求解$X$。

等价于：

$\underset{X_{ij},Z_{ij}}{\min }(Z_{ij}-X_{ij}{)}^2+{\lambda }^2\Vert X_{ij}{\Vert }_0$
显然，若$X_{ij}^{\ast }̸=0$,$X_{ij}^{\ast }=Z_{ij}$，此时函数值为${\lambda }^2$
若$X_{ij}^{\ast }=0$,值为$Z_{ij}^2$，所以，为了最小化值，取：
min{Zij2,λ2}min \{Z_{ij}^2,\lambda^2\}min{Zij2​,λ2},也就是说，
$X_{ij}=0if{Z}_{ij}^2>{\lambda }^2$ 否则， $X_{ij}=Z_{ij}$
$X_i^{\ast }=H_{\lambda }(Z_i)/\Vert H_{\lambda }(Z_i){\Vert }_2$

T-sp 考虑稀疏度的初始问题

λ∈{0,1,2,…,p−1}\lambda \in \{0, 1, 2,\ldots,p-1\}λ∈{0,1,2,…,p−1}
$R$的求法如出一辙，依旧只需考虑在$R$固定的情况下，如何求解$X$的情况。

等价于：

$max{Z}_i^{\mathrm{T}}{X}_i$ 在条件不变的情况下。
证明挺简单的，但不好表述，就此别过吧。
最优解是：$X_i^{\ast }=P_{\lambda }(Z_i)/\Vert P_{\lambda }(Z_i){\Vert }_2$

T-en 考虑Energy的问题

$X_i=E_{\lambda }(Z_i)/\Vert E_{\lambda }(Z_i){\Vert }_2$

文章到此并没有结束，还提及了一些衡量算法优劣的指标，但是这里就不提了。大体的思想就在上面，我认为这篇论文好在，能够把各种截断方法和实际优化问题结合在一起，很不错。

代码

def Compute_R(X, V):W, D, Q_T = np.linalg.svd(X.T @ V)return W @ Q_Tdef T_S(V, R, k): #k in [0,1)Z = V @ R.Tsign = np.where(Z < 0, -1, 1)truncate = np.where(np.abs(Z) - k < 0, 0, np.abs(Z) - k)X = sign * truncateX = X / np.sqrt((np.sum(X ** 2, 0)))return Xdef T_H(V, R, k): #k in [0,1)  没有测试过这个函数Z = V @ R.TX = np.where(np.abs(Z) > k, Z, 0)X = X / np.sqrt((np.sum(X ** 2, 0)))return Xdef T_P(V, R, k): #k belongs to {0, 1, 2, ..., (p-1)}    没有测试过这个函数Z = V @ R.TZ[np.argsort(np.abs(Z), 0)[:k], np.arange(Z.shape[1])] = 0X = Z / np.sqrt((np.sum(Z ** 2, 0)))return Xdef Main(C, r, Max_iter, k):  #用T_S截断  可以用F范数判断是否收敛，为了简单直接限定次数value, V_T = np.linalg.eig(C)V = V_T[:r].TR = np.eye(r)while Max_iter > 0:Max_iter -= 1X = T_S(V, R, k)R = Compute_R(X, V)return X.T

结果，稀疏的程度大点，反而效果还好点。