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前言：

大部分时候我们都是观察多个X与一个Y之间的相关性（多对一），那如果是多个X与多个Y的相关性该如何分析相关性呢？

你可能会说我把y一个一个拿出来，有多少个y做多少次相关性分析不就行了吗？

答案是：当然不行，这样Y内部的相关性不就被你扼杀在摇篮之中了嘛。

有一种方法可以，它就是典型关联分析(Canonical Correlation Analysis，以下简称CCA)，是最常用的挖掘数据关联关系的算法之一。

举个栗子：我们拿到两组数据，第一组是人身高和体重的数据，第二组是对应的跑步能力和跳远能力的数据。那么我们能不能说这两组数据是相关的呢？CCA就可以帮助我们分析这个问题。

一、CCA概述

咱们先回忆一下相关系数：

 它可以很好的帮我们分析一维数据的相关性，但是对于高维数据就不能直接使用了。

咱们开始推广一下：CCA使用的方法是将多维的X和Y都用线性变换为1维的X'和Y'（降维），然后再使用相关系数来看X'和Y'的相关性。

二、CCA的算法思想

用于高维或者多维的数据，我们一般会想到投影追踪法。

上面我们提到CCA是将高维的两组数据分别降维到1维，然后用相关系数分析相关性。但是有一个问题是，降维的标准是如何选择的呢？回想下主成分分析PCA，降维的原则是投影方差最大；再回想下线性判别分析LDA，降维的原则是同类的投影方差小，异类间的投影方差大。对于我们的CCA，它选择的投影标准是降维到1维后，两组数据的相关系数最大。

这样我们的目的就明确了，就是想要使X'和Y'的相关性达到最大。

假设我们的数据集是X和Y，令：

即我们想找到a、b使corr（X'，Y'）达到最大；

计算其二间的相关系数为：

这里我们可以联想到分式线性规划问题，采用的办法就是令D(X')=D(Y')=1，转化为求解a、b使cov（X'，Y'）最大；

再引入拉格朗日乘数法（具体推理过程在应用多元统计分析第四版朱建平书上的162页）

注：找到第一对（a1，b1）再继续找第二对的时候，要注意它与第一对之间的信息冗余，最好是找到与之正交的，这样才能保证两组变量内部的相关性没有被破坏。最多可以找到两组维数中的最小值那么多对（a，b）。（与主成分相似）