---

前言

---

一、树形结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点以外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合，其中每一个集合又是一颗与树类似的子树。每颗子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或者多个后继。
• 树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 概念（重要）

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点
• 双亲结点或父节点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点
• 孩子结点或子节点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次

树的以下概念只需了解，看见时知道什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
• 森林：有m(m>=0)颗互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。在这里我们就简单的介绍一下最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value;	//树中存储的数据Node firstChild;	//第一个孩子引用Node nextBrother;	//下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二、二叉树（重点）

2.1 概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该结合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根结点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成

注意：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这颗二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一颗二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是，满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层最多有2^(i-1) (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^-1 (k>=0)
3. 对任何一颗二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的非叶结点个数为n2,则有n0=n2+1
4. 具有**n个结点的完全二叉树的深度K为log2(n+1)**向上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1.若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
   2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
   3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

习题：

	1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）A 不存在这样的二叉树B 200C 198D 1992.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）A nB n+1C n-1D n/23.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）A 383B 384C 385D 3864.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）A 11B 10C 8D 12【参考答案】 1.B    2.A    3.B   4.B			

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的结点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{public static class BTNode{BTNode left;BTNode right;int value;BTNode(int value){this.value = value;}}private BTNode root;public void createBinaryTree(){BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node1 = new BTNode(2);BTNode node1 = new BTNode(3);BTNode node1 = new BTNode(4);BTNode node1 = new BTNode(5);BTNode node1 = new BTNode(6);root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。

2.5.2 二叉树的遍历

    // 前序遍历  根   左子树  右子树   递归public void preOrder(TreeNode root) {if (root == null) {return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}//前序遍历     非递归public void proOrderNor(TreeNode root) {if(root==null) {return;}TreeNode cur = root;//栈Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();while (cur!=null || !stack.isEmpty()) {while (cur!=null) {stack.push(cur);System.out.print(cur.val+" ");cur = cur.left;}TreeNode top = stack.pop();cur = top.right;}}//子问题思路public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>(); //利用好返回值if(root==null) {return list;}list.add((int) root.val);List<Integer> lefttree = preorderTraversal(root.left);list.addAll(lefttree);List<Integer> righttree = preorderTraversal(root.right);list.addAll(righttree);return list;}// 中序遍历public void inOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}// 中序遍历  非递归public void inOrderNor(TreeNode root) {if(root == null) {return;}TreeNode cur = root;//栈Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();while (cur!=null || !stack.isEmpty()) {while (cur!=null) {cur = cur.left;stack.push(cur);}TreeNode top = stack.pop();System.out.print(top.val+" ");cur = top.right;}}public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();if(root==null) {return list;}List<Integer> lefttree = inorderTraversal(root.left);list.addAll(lefttree);list.add((int) root.val);List<Integer> righttree = inorderTraversal(root.right);list.addAll(righttree);return list;}// 后序遍历public void postOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val+" ");}// 后序遍历 非递归public void postOrderNor(TreeNode root) {if(root == null) {return;}TreeNode cur = root;TreeNode prev = null;//栈Deque<TreeNode> stack = new ArrayDeque<>();while (cur!=null || !stack.isEmpty()) {while (cur!=null) {stack.push(cur);cur = cur.left;}TreeNode top = stack.peek();cur = top.right;if(top.right==null || top.right == prev) {System.out.print(top.val+" ");stack.pop();prev = top;}else {cur = top.right;}}System.out.println();}

• 前中后序遍历
  学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历，是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作是依赖于具体的应用问题（比如：打印结点内容、结点内容加1）。遍历时二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其他运算之基础。

  在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式进行遍历，得出的结果会比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一颗树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根结点，L代表根结点的左子树，R代表根结点的右子树，则根据遍历根结点的先后次序有以下遍历方式：

  • NLR：前序遍历（先序遍历）-----访问根结点----->根的左子树----->根的右子树
  • LNR:中序遍历-----根的左子树----->根结点----->根的右子树
  • LRN:后序遍历-----根的左子树----->根的右子树----->根结点

• 层序遍历
  除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

习题：

	1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()A: E B: F C: G D: H3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()A: adbce B: decab C: debac D: abcde4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF【参考答案】 1.A    2.A    3.D    4.A

2.5.3 二叉树的基本操作

   // 获取树中节点的个数  子问题思路public int size(TreeNode root) {if(root==null) {return 0;}int leftSize = size(root.left);int rightSize = size(root.right);return leftSize+rightSize+1;};// 获取树中节点的个数  遍历思路public static int len ;public void size1(TreeNode root) {if(root==null) {return ;}len++;size1(root.left);size1(root.right);};// 获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root==null) {return 0;}if(root.left==null && root.right==null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);};// 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root==null) {return 0;}if(k==1) {return 1;}int leftsize = getKLevelNodeCount(root.left,k-1);int rightsize = getKLevelNodeCount(root.right,k-1);return leftsize+rightsize;};// 获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root) {if(root==null) {return 0;}int leftHight = getHeight(root.left);int rightHight = getHeight(root.right);return (leftHight>rightHight)?(leftHight+1):(rightHight+1);};// 检测值为value的元素是否存在public TreeNode find(TreeNode root, int val){if(root==null) {return null;}if(root.val==val) {return root;}TreeNode leftTree = find(root.left,val);if(leftTree!=null) {return leftTree;}TreeNode rightTree = find(root.right,val);if(rightTree!=null) {return rightTree;}return null;};

---

总结

以上就是今天要讲的内容，本文介绍了二叉树的相关内容，二叉树在数据结构中属于重难点，需要大量刷题巩固基础。如有不正，望各位博友提出修改，谢谢大家。