闲来无事

一元四次方程求根公式（完全显式）

对于一般四次方程：

\[ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \quad (a \neq 0)\]

根的完全显式表达式

定义：

\[ \begin{aligned}x = &-\frac{b}{4a} \\&\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}} \\&+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}} \\&\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2}{2a^2}-\frac{4c}{3a}-\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}} \\&-\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a} \\&\mp\frac{-b^3+4abc-8a^2d}{4a^3\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{2c}{3a}+\frac{\sqrt[3]{2}(c^2-3bd+12ae)}{3a\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}+\frac{\sqrt[3]{2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace+\sqrt{(2c^3-9bcd+27b^2e+27ad^2-72ace)^2-4(c^2-3bd+12ae)^3}}}{3\sqrt[3]{2}a}}}\end{aligned}\]

说明

1. 四个根通过所有可能的±组合得到

2. 所有立方根取主根（实数根或实部最大的复数根）

3. 当分母为零时，表达式需取极限理解

4. 公式中出现的嵌套平方根和立方根不可进一步简化

判别式

方程根的性質由判别式决定：

\[ \Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 \\ + 144ab^2ce^2 - 6ab^2d^2e - 80abc^2de + 18abcd^3 + 16ac^4e \\- 4ac^3d^2 - 27b^4e^2 + 18b^3cde - 4b^3d^3 - 4b^2c^3e + b^2c^2d^2\]

• \(\Delta > 0\)：两对共轭复根

• \(\Delta < 0\)：两个实根和两个共轭复根，或四个不同实根

• \(\Delta = 0\)：有重根